Matrice de Toeplitz

Exercice en Algorithme :  Matrice de Toeplitz

Sur un exercice d’Algèbre les étudiants du Groupe GENIUS Mathématique L1, émerveille décide de faire un expose en algorithmique sur la Matrice de Toeplitz du mathématicien Otto Toeplitz. Toeplitz était issu d'une famille de mathématiciens : son père et son grand-père étaient professeurs de mathématiques au lycée. Otto Toeplitz grandit à Breslau, capitale de la Silésie, et étudia les mathématiques à l'université. À l'issue de ses études, il se spécialisa en géométrie algébrique. En algèbre une matrice Toeplitz n×m , T est notée T=[tij]=[ti-j], pour 1≤i,j≤n ; ce qui implique que toutes les entrées le long de chacune des 2n-1 diagonales sont les mêmes. Toute matrice N × N mat est une matrice Toeplitz si T(i, j) = T(i+1, j+1) = T(i+2, j+2), et ainsi de suite... Ici, T(i, j) désigne l'élément T[i][j] dans la matrice. Une matrice Toeplitz (ou diagonale-constante) est une matrice dans laquelle chaque diagonale descendante de gauche à droite est constante, c'est-à-dire que tous les éléments d'une diagonale sont identiques. Pour eux l’idée est simple : parcourir la matrice une fois, et pour chaque élément (i, j), vérifier s'il est identique à son élément diagonal immédiat (i+1, j+1) ou non. Si un élément diffère de son élément diagonal immédiat, la matrice ne peut pas être Toeplitz. Une matrice de Toeplitz est une matrice dont les composantes des diagonales sont constantes. Il suffit donc pour connaitre une matrice de Toeplitz [n, m] de connaitre la première ligne (qui va donner les diagonales de 0 a n et la première colonne qui va donner les diagonales de 0 a n). Exemple :

m

n

9

5

1

0

4

9

5

1

7

4

9

5

2

7

4

9

T est Toeplitz :

Les étudiants du Groupe GENIUS Mathématique L1 rencontre certains les étudiants du Groupe GENIUS Informatique L1, pour qu’ils puissent répondre à quelques questions :

1. Démontrer que l’addition de 02 matrices de Toeplitz donne une matrice Toeplitz.
2. Démontrer que la multiplication de 02 matrices de Toeplitz ne donne pas une matrice Toeplitz.
3. Démontrer que la multiplication d’une matrice de Toeplitz et d’un vecteur donne une matrice Toeplitz.
4. Ecrire une fonction permettant de vérifier si tous les éléments présents dans la diagonale descendante à partir de la position (i, j) dans la matrice sont tous identiques ou non.
5. Ecrire une fonction permettant de vérifier si une matrice donnée est une matrice Toeplitz ou non.

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1. Pour démontrer que l'addition de deux matrices de Toeplitz donne une matrice Toeplitz, il faut montrer que si T1 et T2 sont des matrices de Toeplitz, alors T1 + T2 est également une matrice de Toeplitz. Cela peut être démontré en utilisant la propriété de Toeplitz selon laquelle les éléments le long de chaque diagonale sont les mêmes. Si T1[i][j] = T1[i+1][j+1] et T2[i][j] = T2[i+1][j+1], alors (T1 + T2)[i][j] = T1[i][j] + T2[i][j] = T1[i+1][j+1] + T2[i+1][j+1] = (T1 + T2)[i+1][j+1], ce qui montre que T1 + T2 est une matrice de Toeplitz.
2. Pour démontrer que la multiplication de deux matrices de Toeplitz ne donne pas nécessairement une matrice de Toeplitz, il faut montrer un exemple de deux matrices de Toeplitz T1 et T2 qui, lorsqu'elles sont multipliées, donnent une matrice qui n'est pas de Toeplitz. Par exemple, si T1 est la matrice 2x2 suivante : [1, 2], [2, 1] et T2 est la matrice 2x2 suivante : [1, 2], [2, 3], alors T1*T2 = [5, 6], [6, 7] n'est pas une matrice de Toeplitz car les éléments le long de la diagonale principale ne sont pas égaux (5 et 7).
3. Pour démontrer que la multiplication d'une matrice de Toeplitz T et d'un vecteur V donne une matrice de Toeplitz, il faut montrer que si T est une matrice de Toeplitz et V est un vecteur, alors TV est également une matrice de Toeplitz. Cela peut être démontré en utilisant la propriété de Toeplitz selon laquelle les éléments le long de chaque diagonale sont les mêmes. Si T[i][j] = T[i+1][j+1], alors (TV)[i][j] = T[i][j] * V[j] = T[i+1][j+1] * V[j+1] = (TV)[i+1][j+1], ce qui montre que TV est une matrice de Toeplitz.
4. Voici un exemple de fonction en langage C pour vérifier si tous les éléments présents dans la diagonale descendante à partir de la position (i, j) dans la matrice sont tous identiques ou non:

#include <stdbool.h>

bool is_diagonal_identical(int matrix[][], int i, int j, int n) {
    int reference = matrix[i][j];
    for (int k = 1; i+k < n && j+k < n; k++) {
        if (matrix[i+k][j+k] != reference) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

  5.voici une fonction en langage C pour vérifier si une matrice donnée est une matrice Toeplitz ou non:

#include <stdbool.h>

bool is_toeplitz_matrix(int matrix[][], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (!is_diagonal_identical(matrix, i, j, n)) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}