Quel est l'intervalle des entiers codables sur 10 bits en complément à 1 et complément 2 ?

Soit le codage IEEE 754 simple précision sur 32 bits (float) suivant : signe : 1 bit (0 : +, 1 : -), exposant : 8 bits en excédent 127 [-127, 128], mantisse : 23 bits; normalisé. Donnez les codes binaire et hexadécimal des nombres décimaux suivants : 65,25 et −333,13. Quels sont les deux plus grands (en valeur absolue) nombres positif et négatif ? Quels sont les deux plus petits (en valeur absolue) nombres non nuls positif et négatif ? Quel est le plus petit et le plus grand pas entre deux nombres exprimables ?

Codage et Représentations Numériques

1. Intervalle des entiers codables sur 10 bits

Complément à 1 (C1)

En complément à 1 sur 10 bits, le bit le plus significatif (MSB) est le bit de signe.

Intervalle des valeurs codables :

[-511, +511]

Maximum positif : 2^n-1 - 1 = 2⁹ - 1 = 511
Minimum négatif : -511

Complément à 2 (C2)

En complément à 2 sur 10 bits, le bit de signe est également utilisé.

Intervalle des valeurs codables :

[-512, +511]

Maximum positif : 2^n-1 - 1 = 511
Minimum négatif : -2^n-1 = -512

2. Codage IEEE 754 simple précision

Structure : 1 bit pour le signe (S), 8 bits pour l'exposant (E), 23 bits pour la mantisse (M).

a) Codage de 65,25

Représentation binaire :
```
65,25 = 1000001,01₂
```
- Partie entière : 1000001₂
- Partie fractionnaire : 0,01₂
Normalisation :
```
1,00000101 × 2⁶
```
- Exposant : e = 6, donc E = 133 = 10000101₂
- Mantisse : 00000101

Codage final :

S = 0, E = 10000101, M = 00000101000000000000000

Binaire : 0 10000101 00000101000000000000000

Hexadécimal : 0x42820000

b) Codage de −333,13

Représentation binaire :
```
333,13 = 101001101,00100001111₂
```
Normalisation :
```
1,0100110100100001111 × 2⁸
```
- Exposant : e = 8, donc E = 135 = 10000111₂
- Mantisse : 0100110100100001111

Codage final :

S = 1, E = 10000111, M = 01001101001000011110000

Binaire : 1 10000111 01001101001000011110000

Hexadécimal : 0xC3A92200

3. Les deux plus grands nombres (valeur absolue)

Plus grand positif : + (1,111...111)₂ × 2¹²⁷
Plus grand négatif : Même valeur avec S = 1.

4. Les deux plus petits nombres non nuls (valeur absolue)

Plus petit positif : + (0,000...001)₂ × 2^-126
Plus petit négatif : Même valeur avec S = 1.

5. Plus petit et plus grand pas entre deux nombres

Plus petit pas : 2^-149
Plus grand pas : Pour le plus grand nombre normalisé : 2^127-23

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