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Quel est l'intervalle des entiers codables sur 10 bits en complément à 1 et complément 2 ?

Soit le codage IEEE 754 simple précision sur 32 bits (float) suivant : signe : 1 bit (0 : +, 1 : -), exposant : 8 bits en excédent 127 [-127, 128], mantisse : 23 bits; normalisé. Donnez les codes binaire et hexadécimal des nombres décimaux suivants : 65,25 et −333,13. Quels sont les deux plus grands (en valeur absolue) nombres positif et négatif ? Quels sont les deux plus petits (en valeur absolue) nombres non nuls positif et négatif ? Quel est le plus petit et le plus grand pas entre deux nombres exprimables ?

Codage et Représentations Numériques

1. Intervalle des entiers codables sur 10 bits

Complément à 1 (C1)

En complément à 1 sur 10 bits, le bit le plus significatif (MSB) est le bit de signe.

Intervalle des valeurs codables :

[-511, +511]
  • Maximum positif : 2n-1 - 1 = 29 - 1 = 511
  • Minimum négatif : -511

Complément à 2 (C2)

En complément à 2 sur 10 bits, le bit de signe est également utilisé.

Intervalle des valeurs codables :

[-512, +511]
  • Maximum positif : 2n-1 - 1 = 511
  • Minimum négatif : -2n-1 = -512

2. Codage IEEE 754 simple précision

Structure : 1 bit pour le signe (S), 8 bits pour l'exposant (E), 23 bits pour la mantisse (M).

a) Codage de 65,25

  1. Représentation binaire : 
    65,25 = 1000001,012
    • Partie entière : 10000012
    • Partie fractionnaire : 0,012
  2. Normalisation : 
    1,00000101 × 26
    • Exposant : e = 6, donc E = 133 = 100001012
    • Mantisse : 00000101
  3. Codage final : 
    S = 0, E = 10000101, M = 00000101000000000000000
    Binaire : 0 10000101 00000101000000000000000
    Hexadécimal : 0x42820000

b) Codage de −333,13

  1. Représentation binaire : 
    333,13 = 101001101,001000011112
  2. Normalisation : 
    1,0100110100100001111 × 28
    • Exposant : e = 8, donc E = 135 = 100001112
    • Mantisse : 0100110100100001111
  3. Codage final : 
    S = 1, E = 10000111, M = 01001101001000011110000
    Binaire : 1 10000111 01001101001000011110000
    Hexadécimal : 0xC3A92200

3. Les deux plus grands nombres (valeur absolue)

  • Plus grand positif : + (1,111...111)2 × 2127
  • Plus grand négatif : Même valeur avec S = 1.

4. Les deux plus petits nombres non nuls (valeur absolue)

  • Plus petit positif : + (0,000...001)2 × 2-126
  • Plus petit négatif : Même valeur avec S = 1.

5. Plus petit et plus grand pas entre deux nombres

  • Plus petit pas : 2-149
  • Plus grand pas : Pour le plus grand nombre normalisé : 2127-23

Créé par Joel yk un passionné de calcul numérique.

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