Exercice r : Calcul de Valeurs Actuelles
La valeur actuelle d'une série de paiements \(P_1, P_2, \dots, P_n\) à la fin des années \(1, 2, \dots, n\) est donnée par :
\[ \sum_{j=1}^{n} \prod_{k=1}^{j} (1 + i_k)^{-1} P_j, \]
où \(i_k\) est le taux d'intérêt effectif annuellement durant l'année \(k\). Lorsque le taux d'intérêt est constant au cours des \(n\) années, cette formule se simplifie en :
\[ \sum_{j=1}^{n} (1 + i)^{-j} P_j. \]
a) Paiement annuel de 1 000, taux d’intérêt de 6 % effectif annuellement.
Avec un paiement annuel et un taux d’intérêt constants, on utilise la formule (4.3) avec \(P_j = P = 1 000\) :
\[ 1000 \times \sum_{j=1}^{5} (1 + 0.06)^{-j} \]
Écrire l'expression R qui correspond à ce calcul.
b) Paiements annuels de 500, 800, 900, 750 et 1 000, taux d’intérêt de 6 % effectif annuellement.
Les paiements annuels sont différents, mais le taux d’intérêt est toujours le même. La formule (4.3) s’applique donc directement :
\[ \sum_{j=1}^{5} \text{montants} \times (1 + 0.06)^{-j} \]
Écrire l'expression R qui correspond à ce calcul.
c) Paiements annuels de 500, 800, 900, 750 et 1 000, taux d’intérêt de 5 %, 6 %, 5,5 %, 6,5 % et 7 % effectifs annuellement.
Avec différents paiements annuels et des taux d’intérêt différents, il faut employer la formule (4.2). Utilisez la fonction cumprod en R pour réaliser ce calcul sans boucle :
\[ \sum_{j=1}^{5} \prod_{k=1}^{j} (1 + i_k)^{-1} \times \text{montants} \]
Écrire l'expression R qui correspond à ce calcul.