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Exercice  programmation : Découverte de la densité de ℚ dans ℝ et la propriété archimédienne de ℝ

Les nombres rationnels (ℚ) sont dits denses dans les nombres réels (ℝ), ce qui signifie que, pour tout nombre réel x et pour tout y tels que x<y, il existe un nombre rationnel q tel que x<q<y . De plus, les réels satisfont la propriété archimédienne : pour tout nombre réel x, il existe un entier naturel n tel que n>x.

Objectif du Programme : 5pts

Votre tâche est de concevoir un programme en C qui : Lit deux nombres réels x et y tels que x<y. ; Trouve et affiche un nombre rationnel q (sous la forme d'une fraction simple) tel que x<q<y. ; Vérifie la propriété archimédienne pour un nombre réel x donné par l'utilisateur, c'est-à-dire qu'il trouve un entier n tel que n>x.

Correction EXERCICE PROGRAMMATION C :

Code C - Recherche d'un rationnel 

#include <stdio.h>

int main() {
    double x, y;
    printf("Entrez deux nombres réels x et y tels que x < y : ");
    scanf("%lf %lf", &x, &y);

    // Vérification de la condition x < y
    if (x >= y) {
        printf("Erreur : Vous devez entrer x < y.\n");
        return 1;
    }

    // Recherche d'un nombre rationnel q tel que x < q < y
    int numerateur = (int)x + 1; // Commence par la valeur entière juste après x
    int denominateur = 1;
    double q;

    // Boucle pour trouver un rationnel q tel que x < q < y
    while (1) {
        q = (double)numerateur / denominateur;
        if (q > x && q < y) {
            printf("Un rationnel trouvé entre %.2lf et %.2lf : %d/%d\n", x, y, numerateur, denominateur);
            break;
        }
        numerateur++;
    }

    // Vérification de la propriété archimédienne pour un nombre réel donné
    printf("Entrez un nombre réel pour vérifier la propriété archimédienne : ");
    scanf("%lf", &x);

    // Recherche d'un entier n tel que n > x
    int n = (int)x + 1;
    printf("L'entier n tel que n > %.2lf est %d.\n", x, n);

    return 0;
}

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